L21 Animation

1 动画(Animation)

“赋予事物生命力”

作为一种沟通工具
美学问题往往优先于技术问题
建模的延伸
将场景模型表示为时间的函数（即加入时间维度，让静态模型动起来）
输出：连续播放时能产生运动感的图像序列
电影：24 帧 / 秒（fps）
视频（通用标准）：30 帧 / 秒（fps）
虚拟现实（VR）：90 帧 / 秒（fps）

1.1 History

First Film

第一步手绘剧场版动画(First Hand-Drawn Feature-Length (>40 mins) Animation)(1937)

第一个电子计算机生成的动画(First Digital-Computer-Generated Animation)(1963)

数字恐龙

第一个纯CG(Computer-Generated)电影(First CG Fearute-Length Film)(1995)

1.2 Keyframe Animation

关键帧动画制作流程

动画师（如首席动画师）(Animator (e.g. lead animator))负责创建关键帧（keyframes）
助理（人工或计算机）(Assistant (person or computer))负责生成中间帧（in-between frames），这个过程称为 “补间（tweening）”
将每一帧(frame)当作一个参数值的向量(Think of each frame as a vector of parameter values)

线性插值通常不够好。回想(recall)一下用于平滑 / 可控制插值(interpolation)的样条曲线(splines)

2 物理模拟(Physical Simulation)

2.1 Newton's law

\[\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}\]

\(\boldsymbol{F}\): Force（力，矢量）
\(m\): Mass（质量，标量）
\(\boldsymbol{a}\): Acceleration（加速度，矢量）
通过数值模拟(numerical simulation)生成物体的运动

2.2 质点弹簧系统(Mass Spring System)

质点弹簧系统可以用来对绳子、头发、布料进行模拟

2.2.1 Spring

理想弹簧模型(Idealized spring)

\[ \begin{align} \boldsymbol{f}_{a \to b} &= k_s (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) \\ \boldsymbol{f}_{b \to a} &= -\boldsymbol{f}_{a \to b} \end{align} \]

力的作用是将两个点（a 和 b）拉向彼此
力的大小与两点间的位移成正比（符合胡克定律的核心逻辑）
\(k_s\) 是弹簧系数：代表弹簧的刚度（stiffness）
核心问题：这种理想弹簧会趋向于收缩到零长度（与现实物理不符）

具有非零原长的弹簧模型(Spring with non-zero rest length)

\[\boldsymbol{f}_{a \to b} = k_s \frac{\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}}{||\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}||} \left( ||\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}|| - l \right)\]

\(l\)：原长（Rest length）（弹簧自然松弛状态下的长度）
核心问题：该模型中的弹簧会永远振荡(oscillates forever)（无能量损耗，与现实物理不符）

导数的点记法(Dot Notation for Derivatives)

如果 \(x\) 是目标点的位置矢量，我们将用点表示法来表示速度和加速度：
\(\boldsymbol{x} \quad \text{：位置矢量（Position vector）}\)
\(\dot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{v} \quad \text{：一阶导数，速度矢量（Velocity vector）}\)
\(\ddot{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{a} \quad \text{：二阶导数，加速度矢量（Acceleration vector）}\)

2.2.2 Energy Loss

简单运动阻尼（Simple motion damping）

\[\boldsymbol{f} = -k_d \dot{\boldsymbol{b}}\]

表现类似运动中的粘性阻力（viscous drag）
会在速度的方向上减慢运动（阻力方向与速度方向始终相反）
\(k_d\) 是阻尼系数（damping coefficient）
这种阻力无法仅表示弹簧内部的阻力。因为它会影响弹簧整体的运动。
仅阻尼内部由弹簧驱动的运动

\[\boldsymbol{f}_b = -k_d \left( \frac{\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}}{||\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}||} \cdot (\dot{\boldsymbol{b}} - \dot{\boldsymbol{a}}) \right) \frac{\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}}{||\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}||}\]

红框部分：两点的相对速度在a 到 b 方向上的投影（标量值）。这是因为相对速度在垂直于ab方向上的分量并不会导致阻尼(比如圆周运动)。
核心特点：

仅对弹簧长度变化的运动施加粘性阻力
不会减慢弹簧系统的整体运动（如整个弹簧组的全局平移或旋转）
注意：这只是阻尼的一种特定类型

2.2.3 由弹簧形成的结构(Structures form Springs)

我们想用弹簧系统来模拟布料.

这种结构无法抵抗剪切力(not resist shearing)。

这种结构能抵抗剪切力(shearing)，但存在各向异性偏差(anisotropic bias)。

这种结构将能抵抗剪切力(shearing)。方向性偏差(directional bias)更小。
和前面的结构一样，这种结构也无法抵抗平面外弯曲(out-of-plane bending)。

这种结构将抵抗平面外弯曲(out-of-plane bending)，红色弹簧应该弱得多(much weaker)，一种比较通俗的名称叫(skip connection)。

其他的方法：有限元法（FEM，Finite Element Method）而非弹簧

2.3 Particle Systems

粒子系统基础

将动态系统建模为大量粒子的集合
每个粒子的运动由一组物理（或非物理）(physical or non-physical)力定义
在图形学与游戏中的应用特点
易于理解与实现：原理直观，开发门槛低
可扩展性强：用更少的粒子追求速度，用更多的粒子实现更高复杂度的效果
面临的挑战
可能需要海量粒子（如模拟流体、烟雾时）
可能需要加速结构（如用于快速查找邻近粒子以计算相互作用）

粒子系统动画渲染流程
在动画的每一帧中执行以下步骤：

【按需执行】创建新粒子（补充生命周期结束的粒子，维持效果连续性）
计算每个粒子所受的力（如重力、风力、碰撞力等）
更新每个粒子的位置和速度（通过积分算法实现运动更新）
【按需执行】移除死亡粒子（清理生命周期结束或超出边界的粒子，优化性能）
渲染粒子（将粒子绘制到屏幕上）

粒子系统的力与碰撞分类

吸引与排斥力

重力（Gravity）、电磁力（electromagnetism）等
弹簧力（Springs）、推进力（propulsion）等
阻尼力
摩擦力（Friction）、空气阻力（air drag）、粘性阻力（viscosity）等
碰撞
墙壁（Walls）、容器（containers）、固定物体（fixed objects）等
动态物体（Dynamic objects）、角色身体部位（character body parts）等

模拟与渲染分离

实际应用中是先模拟再渲染，二者互相并不干扰。

2.4 模拟集群行为(Simulated Flocking Behavior)

作为常微分方程的模拟群体行为(Simulated Flocking as an ODE)
群体行为模拟（Flocking Behavior Simulation）
将每只鸟建模为一个粒子（particle），受以下简单力（forces）的驱动：

吸引（attraction）：向邻近个体（neighbors）的中心位置聚集
排斥（repulsion）：与过近的邻近个体保持距离，避免碰撞
对齐（alignment）：与邻近个体的平均运动轨迹（average trajectory）方向保持一致
通过数值方法（numerically）模拟大规模粒子系统的演化（evolution）。涌现（Emergent）出复杂的全局群体行为，这一现象也见于鱼群、蜂群等生物群体

3 运动学(Kinematics)

3.1 Forward Kinematics

关节骨骼（Articulated skeleton）

拓扑结构（Topology）：定义骨骼各部件的连接关系（如 “哪块骨骼连接到哪块骨骼”）
关节的几何关系（Geometric relations from joints）：描述骨骼段的长度、初始角度等空间参数
树状层级结构（Tree structure）：骨骼系统通常为无环路的树状结构（如人体骨骼从脊柱延伸至四肢，避免运动冲突）
关节类型（Joint types）
销关节（Pin joint）：1 维旋转（1D rotation），仅能在单一平面内转动（如人的肘关节、膝关节）
球关节（Ball joint）：2 维 / 3 维旋转（2D/3D rotation），可在多个平面内转动（如人的肩关节、髋关节）
棱柱关节（Prismatic joint）：平移（translation），沿固定轴线做直线运动（如机械臂的伸缩关节、手指的滑动关节）

我们可以通过 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 等参数计算出end point \(p\)的位置

\[ \begin{align*} p_z &= l_1 \cos(\theta_1) + l_2 \cos(\theta_1 + \theta_2) \\ p_x &= l_1 \sin(\theta_1) + l_2 \sin(\theta_1 + \theta_2) \end{align*} \]

优缺点(Kinematics Pros and Cons)
优点（Strengths）

直接控制（Direct control） 便捷：动画师可以直接调整关节角度或关键帧，精准控制角色的每一个动作姿态。
实现（Implementation） 简单直接：技术门槛低，无需复杂的物理引擎或反向运动学求解器，开发与制作流程清晰。
缺点（Weaknesses）
动画效果可能与 物理（physics） 规律不符：纯手工调整的动作可能出现违反物理直觉的效果（如角色跳跃时的重力感不足、肢体运动过于僵硬）。
对 动画师（artists） 来说耗时费力：需要逐帧或逐关键帧调整角色姿态，制作复杂动作（如舞蹈、打斗）时工作量极大，且难以保证动作的连贯性与自然性。

3.2 Inverse Kinematics

逆运动学的手要问题是计算复杂。即使是只有两个关节的计算公式就已经非常复杂。

\[ \begin{align*} \theta_2 &= \cos^{-1}\left( \frac{p_z^2 + p_x^2 - l_1^2 - l_2^2}{2 l_1 l_2} \right) \\ \theta_1 &= \frac{-p_z l_2 \sin(\theta_2) + p_x \left( l_1 + l_2 \cos(\theta_2) \right)}{p_x l_2 \sin(\theta_2) + p_z \left( l_1 + l_2 \cos(\theta_2) \right)} \end{align*} \]

除此之外，还存在多解、无解的问题。

通用 N 连杆反向运动学（IK, Inverse Kinematics）问题的数值解法

选择初始配置（Choose an initial configuration）：为所有关节设定初始角度，作为迭代优化的起点（通常可使用当前关节状态或自然姿态）。
定义误差度量（Define an error metric）：例如目标位置（goal）与当前末端位置（current position）的距离平方，用于量化末端点与目标的偏差程度。
计算误差关于配置的梯度（Compute gradient of error as function of configuration）：分析每个关节角度变化对误差的影响，得到误差的梯度方向（核心是计算雅可比矩阵（Jacobian Matrix））。
应用梯度下降（或牛顿法等优化算法）（Apply gradient descent (or Newton’s method, or other optimization procedure)）：沿梯度的反方向迭代调整关节角度，逐步减小误差，直到末端点足够接近目标位置。

4 角色动画

4.1 角色绑定(Rigging)

角色绑定（Rigging）是为角色创建的一套高级控制（higher level controls）系统，可让动画师更快速、直观地修改角色的姿态（pose）、形变（deformations）、表情（expression）等。
核心特点（Important）

像木偶上的提线（strings on a puppet）：控制逻辑类似木偶提线，通过上层控制驱动底层骨骼与形变，无需直接调整每个关节。
覆盖所有有意义的角色变化（Captures all meaningful character changes）
因角色而异（Varies from character to character）
制作成本高的原因（Expensive to create）
依赖大量人工操作（Manual effort）
要求兼具艺术与技术能力（Requires both artistic and technical training）

4.2 形态键(Blend Shapes)

融合变形（Blend Shape / Morph Target）
不依赖骨骼（skeleton），直接在不同表面(surfaces)之间进行插值。比如建模一系列面部表情：

最简单的方案：对顶点位置进行线性组合（linear combination）
使用样条曲线（Spline）来控制权重随时间的变化

4.3 动作捕捉(Motion Capture)

数据驱动式动画序列生成（Data-driven approach to creating animation sequences）

记录现实世界中的动作表演（Record real-world performances）：例如让演员执行目标动作（如跑步、打斗、表情变化）。
从采集的数据中提取随时间变化的姿态（Extract pose as a function of time from the data collected）

优点（Strengths）

可快速捕捉大量真实数据（Can capture large amounts of real data quickly）
真实度极高（Realism can be high）
缺点（Weaknesses）
设备与场景搭建复杂且成本高昂（Complex and costly set-ups）
捕捉的动画可能不符合艺术需求，需要二次修改（Captured animation may not meet artistic needs, requiring alterations）

动捕设备可能通过光学(即视觉)、磁场、机械等方式来采集运动数据。
最一般的方法就是再运动的人体贴上小球，通过相机甚至更高级的设备记录这些小球的运动信息。
《阿凡达》是电影史上的一块里程碑，一部分是因为它最先使用了面部动捕。

VFX：Visual Effects，视觉效果，视效