L17 Materials and Appearances

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对材质的定义等价于对 BRDF 的定义；

1 漫反射

对于漫反射模型，假设入射光被均匀地反射到半球上的各个方向（\(f_r\)为常数），渲染方程反射项有

\[L_o(\omega_o)=\int_{H^2}f_rL_i(\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\\ =f_rL_i\int_{H^2}\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\\ =\pi f_rL_i\]

\(L_o(\omega_o)\)：沿出射方向 \(\omega_o\) 的辐射率。
\(\int_{H^2} \dots \mathrm{d}\omega_i\)：在半球空间（Hemisphere）上对所有入射方向 \(\omega_i\) 进行积分。
\(f_r\)：双向反射分布函数 (BRDF)。在漫反射中，\(f_r\) 是一个常数（即 \(k_d/\pi\)），表示表面反射光线的比例。
\(L_i(\omega_i)\)：沿入射方向 \(\omega_i\) 的入射辐射率。
\(\cos\theta_i\)：投影项。由于光线斜射，单位面积接收到的能量会减少，角度越倾斜（\(\theta_i\) 越大），能量越弱。

在能量守恒的假设下，有 \(f_r=\frac 1 \pi\) ,更广泛地，如果我们定义反照率（albedo）\(\rho\in[0,1]\) ，则有 \(f_r=\frac \rho\pi\)

2 金属反射

对于不同金属，金属反射性质也不同；

3 镜面反射

由出射角等于入射角，有

\[ \begin{align} \omega_o+\omega_i&=2\cos\theta\vec n=2(\omega_i\cdot\vec n)\vec n\\ w_o&=-w_i+2(\omega_i\cdot\vec n )\vec n \end{align} \]

对于方位角有

\[\phi_o=(\phi_i+\pi)\mod 2\pi\]

镜面反射的 BRDF 值与 delta 函数有关，课程内暂不赘述；

球面坐标系

在计算机图形学、光学的球面坐标系中，有两个角度参数，分别是方位角\(\phi\)和天顶角\(\theta\)

4 折射

由折射定律（Snell’s Law）得

\[\eta_i\sin\theta_i=\eta_t\sin\theta_t\]

其中 \(\eta_i,\eta_t\) 分别为入射介质和出射介质的折射率（真空为1）；

\[\cos\theta_t=\sqrt{1-(\frac {\eta_i} {\eta_t})^2(1-\cos^2\theta_i)}\]

如果 \(1-(\frac {\eta_i} {\eta_t})^2(1-\cos^2\theta_i)<0\) 则折射不会发生，此时发生全反射；

其中可视锥体被称为 Snell’s Window ；
方位角同镜面反射；
描述折射性质的函数被称为 BTDF ，与 BRDF 统称为 BSDF ；

5 菲尼尔项（Fresnel Term）

菲涅尔项描述了反射和折射的比例；

对于绝缘体表面，有

S 和 P 描述了两种偏振光的表现，一般情况性质如红线描述；
对于金属（导体）表面，则有

对于两种偏振光的反射率有（ \(n_1,n_2\) 为两种介质的折射率）

\[R_s = \left| \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \cos\theta_t}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \cos\theta_t} \right|^2 = \left| \frac{n_1 \cos\theta_i - n_2 \sqrt{1 - \left( \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i \right)^2}}{n_1 \cos\theta_i + n_2 \sqrt{1 - \left( \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i \right)^2}} \right|^2\]

\[R_p = \left| \frac{n_1 \cos\theta_t - n_2 \cos\theta_i}{n_1 \cos\theta_t + n_2 \cos\theta_i} \right|^2 = \left| \frac{n_1 \sqrt{1 - \left( \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i \right)^2} - n_2 \cos\theta_i}{n_1 \sqrt{1 - \left( \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i \right)^2} + n_2 \cos\theta_i} \right|^2\]

对于无偏振的光，有

\[R_{eff}=\frac 12 (R_s+R_p)\]

由于上述计算比较复杂，有简化公式 Schlick’s approximation ：
基准反射率即为法线入射时的反射率，为

\[R_0=(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2})^2\]

关于入射角的反射率为

\[R(\theta)=R_0+(1-R_0)(1-\cos\theta)^5\]

对导体和绝缘体均可以近似；

6 微表面模型（Microfacet Material）

微表面模型假设物体表面是粗糙的，由很多微表面组成，每一个微表面只进行镜面反射，具有自己的法线；远看是外观，近看是几何；
通过描述微表面法线的分布来描述物体粗糙程度，例如

微表面模型的 BRDF 有

\[f(i,o)={F(i,h)D(h)G(i,o,h)\over4(n,i)(n,o)}\]

其中 \(h\) 为 \(i\) 和 \(o\) 的中间向量，\(F\) 为菲涅尔项，\(D\) 为微表面法向的概率密度函数，\(G\) 为几何项，定义了了微表面互相遮挡造成的影响；

在入射方向或观察方向和表面几乎平行时（Grazing Angle 掠射角度），表面遮挡比较严重，此时 G 项的值会比较小；

GGX模型下，对于粗糙度为 \(\alpha\) 的各向同性材料，法线分布函数和遮挡通过函数有

\[ \begin{align} D(n,h,\alpha)&={\alpha^2\over\pi((n\cdot h)^2(\alpha^2-1)+1)^2}\\ k&=\frac{(\alpha+1)^2}8\\ G(i,o,n)&={n\cdot i\over(n\cdot i)(1-k)+k}{n\cdot o\over(n\cdot o)(1-k)+k} \end{align}\]

7 各向同性/各向异性材料（Isotropic / Anisotropic Materials）

类似于电梯内表面的纵向抛光痕迹，一些材料表面是各向异性的；

各向同性即认为微表面不存在方向性或方向性很弱；

从 BRDF 考虑，高度角固定的情况下，如果对于固定方位角变化量，函数值不同，即为各向异性；

8 BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数）

8.1 BRDF的性质

非负：\(f_r(\omega_i\to\omega_r)\geqslant0\) ；
线性；
可逆性：\(f_r(\omega_i\to\omega_r)=f_r(\omega_r\to\omega_i)\) ；
能量守恒： \(\forall \omega_r,\int_{H^2}f_r(\omega_i\to\omega_r)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\leqslant1\) ；
各向同性与各向异性；

8.2 测量BRDF

gonioreflectometer

8.3 BRDF的存储

MERL BRDF Database 对各向同性材料进行了三个维度的测量 \((\theta_i,\theta_o,|\phi_i-\phi_o|)\) ，形成了 \(90\times90\times180\) 的数据；